블랙홀 7

이번화에서는 블랙홀을 다루기 위한 필수적 이론,

아인슈타인의 일반 상대론에 대해 다뤄 보겠다.

 

때는 바야흐로 19세기 후반,

전하와 그 운동, 그에 의한 힘 등에 대해 다루는 전자기학이 발전하고

맥스웰 방정식 4개가 그 결과로 튀어나오게 된다.

그러나 맥스웰 방정식에 의한 전파의 속도 계산 결과는,

어느 계에서든 빛의 속도가 일정하다는 것을 내 보였고

1887년 마이켈슨과 몰리의 실험에 의해 지구가 매우 빠른 속도로 운동하고 있음에도

어느 방향으로든 지구상에서 빛의 속도는 일정하다는 것이 입증되었다.

* 사실 마이켈슨 몰리 실험 자체가 이걸 완벽히 입증해서 널리 받아들이게 했던건 아니다.

에테르에 대한 가설도 당연히 깨어지고, 물리학자들은 혼란스러워 하기 시작했다.

빛의 속도는 어떤 계에서 관측하든지 간에 일정하다.

이것이 요점이다.

 

언뜻 듣기에 잘 이해가 안 갈지도 모르지만

비유하자면,

자동차를 타고가는 사람이 던진 공과, 가만히 서 있는 사람이 던진 공이

같은 속도로 날아간다는 주장과 비슷하다.

정말로 이상하지 않은가?

* 우리가 익히 알고 있는, 이런 상황에서 적용되는 이론이 갈릴레이의 상대론이다.

 

이때, 로렌츠란 사람이 어떤 계에서 관찰하든 간에 빛의 속도가 유지되는

특수한 형태의 좌표 변환 식을 발견했다.

호오?  이제 해결된 것인가?

아니었다.

로렌츠는 이에 따른 물리적 설명을 제시하지 못했다.

그래서 우리는 지금 로렌츠가 아닌 아인슈타인의 이론들에 대해 논하고 있는 것이다.

1905년 아인슈타인이 '등속' 운동하는 물체들에 대한, 각기 다른 계들에 대한 이론을

이 로렌츠 변환 식을 이용하여 제시하였다.

등속운동하는 관측자들에게 물리법칙이 불변인 새로운 이론,

바로 특수상대성 이론이다.

 

뉴턴은 관측자에 관계 없이 동일한 좌표계를 사용하였다.

그리고 전체 계에 대해 절대시간 개념을 도입하였다.

이는 우리가 알고 있는 상식과 매우 일치하는 개념들이다.

하지만 빛의 속도정도로 매우 빨리 운동하는 물체들에 대해서는 이러한 상식이 통하지 않는다.

아인슈타인은, 이러한 계들에 대한 상대론을 세운 것이다.

 

특수상대론만 가지고 설명해도, 충분히 수업 몇 시간이나 책 한권 정도는 채울 수 있으나

이 글의 주제는 '블랙홀'이므로 간략히 넘어가도록 하겠다.

특수상대론에 대해 좀 더 자세히 알고 싶은 사람은

가까운 서점이나 도서관에 가면, 과학 계열 책, 십진 도서 분류법에 의하면 400대의 책을 살펴보면

아인슈타인이나 특수상대성 이론에 대한 많은 책들이 있을 것이다.

그 중에서, 마음에 드는 책을 골라서 보기 바란다.

 

특수상대론은 '등속' 운동하는 계에 대한 이론이다.

즉, 빈 우주공간을 고요히 일정한 속력으로 날아가는 우주선에 대한 이야기란 것이다.

이는 우주에서 매우 특수한 경우로, 다른 모든 경우들에 대한 이야기를 하기 위해서는

가속도 운동하는 계들에 대한 이론이 필요하게 된다.

* 특수상대론의 특수란 말은, 등속 운동하는 '특수'한 계에 대한 상대론이라는 의미다.

 

당연히 아인슈타인은 '특수'한 경우 뿐 아니라 일반적인 경우,

가속도운동을 하는 관측자들도 다룬 수 있는 경우를 찾기 위해 노력했다.

 

1907년 아인슈타인은 중력과 가속도가 미치는 영향이 같다는 등가원리를 발표한다.

* 사실 조석력이나 중력의 방향 때문에 '국소적으로' 성립하는 원리다.

 

이는 자주 엘리베이터를 예로 들어 설명된다.

창문이 없는 엘리베이터가 있다고 가정하자.

이것을 아무것도 없는 우주공간에 놔 두면?

사람은 당연히 아래로 향하는 힘을 느낄 수 없고 무중력 상태라고 느낄 것이다.

지구상에 가만히 놔 두면?

사람은 당연히 아래로 향하는 지구의 중력을 느낄 수 있을 것이다.

자, 엘리베이터를 낙하시켜 보자.

자유낙하하는 물체는 1g의 가속도로 지구 표면을 향해 떨어진다.

이 1g는 지구가 잡아당기는 힘과 같다.

따라서, 그 가속도 만큼의 '중력과 같은' 효과를 주는 힘이 위쪽 방향으로 생기게 되고

사람은 중력의 영향이 미치는 지구상에 있다고 하더라도 무중력 상태를 느낄 것이다.

 

한편 아무것도 없는 우주에 있다고 하더라도

우주선이 1g로 가속된다면, 물체는 관성에 의해서 가속에 저항하게 되고

이는 1g의 중력을 받는 것과 같은 느낌을 받게 된다.

 

일상 생활에서는 엘리베이터를 타면 느낄 수 있을 것이다.

내려가기 시작할 때에는 중력이 줄어든 것 처럼 (몸이 붕 뜨는것 같은 느낌) 느낄 수 있을 것이고

올라가기 시작할 때에는 중력이 늘어난 것과 같은, 아래로 잡아당겨지는 것을 느낄 수 있다.

비행기를 타본 사람이면, 이륙시에 비행기가 빠룬 속도로 활주로에서 가속하면

뒤로 잡아당기는 느낌을 느낄 수 있고

비행기가 실제로 뜨지 않았음에도 비행기 앞쪽이 올라가는것 처럼 보임을 경험했을 것이다.

 

이 등가원리를 이용하면, 가속운동하는 계의 현상들을

등속운동하는 중력장 내의 현상으로 설명하는 것이 가능하다.

이어서 중력장 내에서의 시간지연 현상 등에 대해서 연구한 아인슈타인은

등가원리를 바탕으로 중력과 가속도의 영향을 포함시킨 일반상대성이론을 1916년 발표하게 된다.

 

 

일반상대성 이론에서는 중력을, 시공간이 휘어진 결과로 인해 나타나는 것이라 설명한다.

이는 뉴턴의 중력에서 '힘'으로 논의되는 중력을, 그 형태부터 바꾼 것으로

혁신적인 발상의 전환이라고 할 수 있다.

 

중력은 시공간을 휘어 놓고, 물체는 그 휘어진 시공간을 따라 자유낙하 운동을 함으로써

가속도를 받는 것과 같은 효과를 가지게 된다는 것이다.

커다란 구면 위를 걷는다고 생각해 보자.

지구를 한바퀴 도는 여행을 한다고 생각해도 상관 없다.

사람은 그냥, 사람이 서 있는 아주 작은 부분에서 거의 평평하게 보이는 구면 위를

똑같은 속력, 똑같은 방향으로 계속 걸어간다.

그러면?

한 바퀴 원을 그리며 제자리로 돌아온다.

그 사람이 느낀 운동의 변화는 없다.

단지 직선으로 등속운동 했을 뿐이다.

하지만 그 결과는?

그냥 직선으로 운동한 것이 아니라 휘어진 궤적을 그리게 되었다.

대충 이런 원리이다.

 

이 시공간의 휨을 정량적으로 다루기 위해서, 리만 기하학이라는 것을 이용한다.

우리가 일반적으로, 상식적으로 알고 있는 세상은, 평평한 세상이다.

* 물론, 실제론 굽어진 세상을 느끼고 있지만, 그 정도가 작아 근사적으로 평평한 세상을 느낀다.

즉, 삼각형을 그리면 그 내각의 합이 180도가 되는,

유클리드의 기하학이 적용되는 아주 평범한 세상이다.

유클리드 기하학은 2차원에서 평평한 경우를 가정하고 있는데,

이를 4차원, 즉 우리가 느끼는 공간과 시간에 있어서 까지 확장시킨 것을

민코프스키 시공간이라 한다.

리만 기하학에서는 이 민코프스키 시공간을 포함하여, 휘어진 시공간까지를 다루게 된다.

 

리만 기하학에서 휘어진 시공간을 정의하기 위해서

두 사건간의 거리를 나타내는 메트릭을 이용한다.

피타고라스 정리를 알고 있는가?

이를 이용해 2차원에서 두개의 좌표 축 거리를 이용하여

그것을 제곱하여 더한 다음, 제곱근을 씌워 물체의 거리를 말할 수 있다.

이것을 4차원으로 확장시켜 시간축과 공간의 세 축에서의 거리를 가지고

4차원 상에서의 두 사건간의 거리를 나타낼 수 있다.

떨어진 두 사건간의 거리를 나타내는 것으로 리만 기하학에서 시공간을 정의하고 있다.

* 정확히는 거리의 제곱의 미분 형식이다.

 

당연히 시공간이 휘어 있으면, 두 사건간의 거리가 달라질 것이다.

근데, 이 거리가 달라지는 정도는 그 시공간의 특성에 의해 결정되므로

이 거리를 나타내는 것으로 시공간의 특성을 나타낼 (시공간을 정의할) 수 있는 것이다.

 

아인슈타인이 일반상대론에서 제시한 중력장 방정식을 가지고

실제로 중력의 근원이 있을 때, 시공간이 어떻게 휘어지는지를 구할 수 있으며

이를 중력장 방정식의 해를 구한다고 한다.

* 물론 엄청 어렵다.  앞에서 말한 슈바르츠실드, 커 ... 이런 사람들이 이 짓을 한 것이다.

 

 

아인슈타인은 이 휘어진 시공간에서 물체가 움직일 때,

떨어진 두 사건간의 최단 경로인 '측지선 (Geodesic)'을 따라간다고 하였다.

측지선은, 휘어진 시공간에서의 최단경로인데,

'휘어진 시공간'에서의 최단 경로이므로, 직선이 아닐 수도 있다.

즉, 물체는 등속 직선운동으로 다른 위치까지, 가장 빠른 경로를 따라 가는데

그 바탕이 되는 시공간이 휘어져 있으므로, 휘어진 경로를 그린다는 소리다.

 

지구를 생각해 보자.

서울과 뉴욕을 두 지점으로 잡자.

지구본을 내어 놓고, 서울에서 뉴욕까지의 최단 경로를 그려 보자.

* 고무줄을 가지고 하면 될 듯.

** 지구본이 없는 사람은 그냥 공 위의 아무 두 점을 잡고 같은 짓을 하여도 좋다.

지구의 구면을 따라 휘어진 선을 그리게 될 것이다.

이 선이 측지선이고, 물체는 이 경로를 따라 운동한다는 개념이다.

근데 이 선은 직선이 아니다.

왜냐고?  지구가 휘어졌기 때문이다.

이와 마찬가지로 시공간이 휘어져서 직선이 아닌 최단 경로를 따라 운동하게 될 것이다.

 

공간 상에서 가장 가까운 경로인 측지선을 따라간다.

이것을 식으로 표현해 놓은 것이 '측지선 방정식 (Geodesic Equation)' 이다.

* 측지선에 대한, 변분에서의 최소 작용 뚫뚫뚫 하는 엄밀한 정의가 있지만

   생략하고, 좀 간단하게 최단 거리라고 말하기로 한다.

과학에 관심이 있는 사람이라면 뉴턴의 F = ma 라는 식을 들어보았을 것이다.

이 식이 바로 뉴턴역학의 기본 원리로써

'물체는 힘을 받는 만큼 속도의 변화를 가진다'

라는 의미이다.

힘을 받으니까, 그 방향으로 더 빨라진다.

책상 위에 공을 올려놓고, 한쪽으로 계속 힘을 가하며 쭈욱 밀어보라.

더 빠르게 그 방향으로 운동할 것이다.

 

이와 같은 아인슈타인의 기본 원리,

중력에 의해 휘어진 시공간에서는 그 최단 경로를 따라 물체가 운동한다

라는 것을 말해주는 식이

저 측지선 방정식으로써, 뉴턴역학의 F = ma 라는 식과 비교할 수 있다.

뉴턴역학의 F = ma라는 식을 미분방정식을 풀며 별 난리를 다 치면

물체가 어떻게 운동할 것이다, 물체가 어떤 시간에 어디에 있을 것이다...

이런걸 얻을 수 있듯이

측지선 방정식을 풀 경우

물체는 이런 경로를 따라 운동할 것이다, 물체는 어떻게 운동한다...

이런 정보들을 얻을 수 있게 된다.

 

 

아인슈타인의 일반상대론의 결과를 가지고 예측을 해 볼 경우에

시공간의 휘어짐으로 인해서 생기는 시간 지연 효과 등을 가지고

중력에 의한 적색편이 현상을 이끌어 낼 수 있다.

그리고 빛도 휜다 라는 사실과

중력장 내에서 물체는, 뉴턴역학에서와는 달리

매끈한 타원 (이차곡선 중의 하나)을 그리지 않고, 세차운동을 하게 된다는 사실도

알아낼 수 있다.

이 사실들이 실제로 관측됨으로써,

아인슈타인의 일반상대론이 정확한 이론이라는 것이 입증된 것이다.

 

적색편이 현상은, 실제 별을 관측하여 스펙트럼을 분석하였고,

빛이 휘는 것은, 개기일식때 관측대를 파견하여 (1919년, 대장은 에딩턴)

위치상으로 태양에 가려서 보이지 않아야 할 별빛이, 신기하게도 보이는 것을 관측,

세차운동 저것은 태양계 내의 수성의 궤도 분석을 통해, 근일점이 이동한다는 것을 알아 내어

이것들이 아인슈타인의 일반상대론을 이용한 예측과 일치한다는 사실을 밝혀 내었다.

이 결과는 우리의 상식과는 벗어나게, 무언가 이상하게만 생각되는 일반 상대론이

'정확' 하다는 사실을 말해준다.

 

이것이 아인슈타인의 일반상대론의 내용이고,

이제 인간은 이를 통해, 뉴턴시절보다 훨씬 정확하게

질량을 가진 물체 주위에서의 (중력이 작용할 때의) 여러가지 현상들을 알아볼 수 있게 되었다.

 

이 글을 읽으신 여러분들은,

최소한 특수상대론과 일반상대론의 차이점이 무엇인지에 대해서는 알게 되었으리라 기대한다.

일반상대론을 만들며, 아인슈타인은 중력에 의해 실제 시공간이 어떻게 휘는지에 대한

기본적인 방정식을 세웠다.

바로 중력장 방정식으로, 질량체가 있을 때의 중력장을 정량적으로 나타낸 식이다.

아인슈타인의 중력장 방정식은 다음과 같이 생겼다

G^ab + Λg^ab = 8πT^ab

당장 보고 이것을 술술 풀어낼 수 있으면,

그 사람을 천재라 부르겠다.

왜냐하면.....  각 파라미터들이 무엇을 뜻하는지에 대해서 조차 설명하지 않았으니까.

 

저 중력장 방정식을 누가 발견했는지에 대한 논란이 조금 있다.

아인슈타인과 거의 비슷한 시기에, 수학자 힐버트(David Hilbert, 1862-1943)가

위와 같은 장 방정식을 유도해 논문을 작성하였다.

1915년 11월 25일.  이것이 일반상대론 논문이 제출된 날짜라고 알려져 있다.

하지만 힐버트가 아인슈타인과는 별도로 장 방정식을 얻어내어 작성한 논문의 발신일은

11월 20일로, 이걸로 아인슈타인은 표절 의혹에 휩싸이기도 했다.

그래서 저걸 '아인슈타인 - 힐버트 장 방정식'으로 부르는 사람도 있다고는 하는데...

힐버트가 논문 발신일을 조작하였단 설도 있고 해서 정확히는 모르겠다.

 

방정식에 대해선 간단히 설명하겠다.

어차피, 저거 풀어서 해 구하는건 나도 못하는 짓이고,

아인슈타인도 직접 해를 구하지는 않고, 슈바르츠실드라던지 커 같은 사람이나 저걸 풀었다.

 

식의 우변의 텐서 T는 질량에 의해 생기는 에너지 관련 항이다.

좌변의 텐서는 시공간의 휘어짐을 나타낸다.

 

여기서 잠시 뉴턴의 중력 방정식을 보고 넘어가자.

F = GMm / (r^2)

이것이 뉴턴의 방정식이다.

여기서는 좌변에 힘, 우변에 질량 관련 항들이 있다.

즉, 질량이 있으면 힘이 생긴다.

라는 사실을 나타낸다.

 

아인슈타인의 중력장 방정식은?

우변에는 질량 관련 항이 있는데, 좌변에는 시공간 관련 항이 있다.

이 소리는 질량이 존재하면, 이에 의해 시공간의 휘어짐이 발생한다는 뜻이다.

 

이 식은, 한마디로

이러이러한 물체가 존재하면, 이런 시공간의 휘어짐이 나타난다

라는걸 말하고 있다고 할 수 있다.

여기서 얻어진, 시공간의 휘어짐을 나타내는 메트릭 텐서를 아인슈타인 장 방정식의 해라 하며,

이것을 가지고 실제로 천체 주변에서 중력에 의해 시공간이 어느정도로, 어떤 식으로 휘어졌는지

말할 수 있게 된다.

 

아인슈타인의 일반상대성이론에서는 뉴턴의 F = ma 란 식 대신,

측지선 방정식 (Geodesic Equation) 이라는 운동을 기술하는 식이 존재한다는 말을 했었다.

이 식에 위 중력장 방정식의 해를 대입하면, 휘어진 어떤 시공간에서의 측지선을 구할 수 있고

당연히 '물체는 이 선을 따라 운동한다' 라는 것을 알 수 있게 된다.

이 사항들이 아인슈타인의 일반상대론을 이용해서 실제로 일어나는 현상을

정량적으로 연구하는 방법에 대한 아주 아주 개략적인 설명이다.

 

 

출처 :http://www.mediamob.co.kr/kys8912/blog.aspx?ID=107687#