제14강 충돌의 수식적 이해(반발계수 포함)

1. 학습목표    ① 운동량 보존의 법칙을 수식적으로 이해할 수 있다.   지난 강좌에서 배운 내용 복습하기(사전 지식)   힘은 물체의 운동 상태(속력이나 방향)를 변화시킨다. 주는 힘이 있으면 반드시 크기가 같은 힘을 받게 되어 있다. 힘에 의한 효과(가속도=속도의 변화)는 힘에 비례하고 질량에 반비례한다. 힘이 작용하지 않을 때 충돌 전과 충돌 후의 운동량은 항상 같다.       2. 운동량 보존 법칙(수식적인 이해)   사전 지식   가속도 : 단위 시간당 속도의 변화량 ( ) 가속도의 법칙 : 가속도는 작용한 힘에 비례하고 질량에 반비례한다. ( , ) 운동량 : 질량과 속도의 곱 ( ) 충돌과 폭발때 받는 힘에 의한 운동으로 방향을 고려함.     질량이 이고 속도가 인 물체 A와 질량이 이고 속도가 인 물체 B가 일직선상에서 운동하여 충돌한 후에 각각의 속도가 , 인 일직선상의 운동을 한다고 합시다.(단, > )   물체가 충돌할 때 물체 사이에 작용하는 힘은 작용 반작용의 관계이므로 로 쓸 수 있습니다. 이를 풀어쓰면 가 되죠. 를 상쇄시키고 식을 전개하면 다음과 같습니다.     위 식의 좌변은 충돌 전 두 물체의 운동량의 합이고 우변은 충돌 후 두 물체의 운동량의 합입니다. 이는 두 물체가 상호 작용할 때 상호 작용 전과 후의 운동량이 일정하게 보존된다는 것을 의미하죠. 이를 운동량 보존의 법칙이라고 합니다.   다음은 운동량 보존법칙을 확인할 수 있는 탄성구의 충돌입니다. 학교 다닐 때 많이 해보셨나요? 왼쪽이나 오른쪽의 구를 마우스로 클릭해서 드래그 했다가 놓아 보세요. 좌 우로 두번째 공을 클릭해서 드래그 하면 2개가 한꺼번에 움직입니다. 3개, 4개를 해 보시면 운동량 보존법칙이 조금은 더 잘 이해될 듯해서 올립니다. ^^       3. 반발계수     질량이 이고 속도가 인 물체 A와 질량이 이고 속도가 인 물체 B가 일직선상에서 운동하여 충돌한 후에 각각의 속도가 , 인 일직선상의 운동을 할 때 충돌 후에 서로 멀어지는 속도(충돌 후의 상대 속도, )와 충돌 전에 서로 가까워지는 속도(충돌 전 상대 속도, )의 비를 반발계수라 하고 로 표시합니다.   고급내용 : 반발계수     충돌하는 물체들의 반발 정도를 나타내는 반발계수는 충돌 전의 상대 속도나 물체의 질량에는 관계가 없고 두 물체를 구성하는 물질에 따라 결정됩니다.   두 물체가 충돌하여 반발되는 것은 물체가 가진 탄성 때문입니다. 이 때, 충돌 전 운동 에너지는 충돌하면서 탄성 에너지와 열에너지, 소리 에너지 등으로 변하지만, 두 물체가 반발되면서 탄성 에너지는 다시 운동 에너지로 변하게 됩니다. 따라서 물체의 운동 에너지 전부가 탄성 에너지로 변하고 다른 에너지로 전환되지 않으면 두 물체는 가까워지는 속도 그대로 멀어지게 됩니다. 즉, 반발 계수 e=1이 되는 것입니다. 반대로 물체의 탄성 에너지가 모두 열에너지나 소리 에너지 등으로 전환될 겨우 두 물체는 붙어 버리게 되어 반발 계수 e=0이 되는 것입니다.   따라서 일상 생활에서 일어나는 충돌의 반발 계수는 0≤e≤1의 범위에 있게 됩니다.     물체가 충돌할 때 반발 계수 값에 관계 없이 운동량 보존의 법칙은 성립하며 반발 계수 값에 따라 다음의 세 종류의 충돌로 구분할 수 있습니다.    e=1일 때의 충돌을 완전 탄성 충돌 또는 탄성 충돌이라고 합니다. 이 경우에는 운동량 뿐만 아니라 운동 에너지도 보존되죠. 기체 분자나 상아 공(당구공) 사이의 충돌은 근사적으로 탄성 충돌입니다. 질량이 같은 물체가 탄성 충돌할 경우에 속도가 서로 교환됩니다.   0<e<1일 때의 충돌을 비탄성 충돌이라 하며, 일상생활에서 일어나는 충돌이 이 경우에 해당됩니다. 이 때, 멀어지는 상대 속도는 가까워지는 상대속도보다 작고, 운동 에너지의 일부는 열에너지나 소리 에너지 등으로 변합니다.   e=0일 때의 충돌을 완전 비탄성 충돌이라 하며, 이러한 충돌을 하는 물체를 완전 비탄성체(예, 진흙)라 합니다. 이 때에는 충돌 후 두 물체가 한 덩어리로 합쳐져서 운동하고 손실되는 운동 에너지는 열에너지와 소리 에너지 등으로 변하게 됩니다.     반발 계수는 1보다 클 수 없습니다. 1보다 크게 되면 충돌 전의 상대속도보다 충돌 후의 상대속도가 더 크기 때문에 에너지가 증가되는 꼴이 됩니다. 이는 에너지 보존법칙에 위배되므로 반발 계수는 절대로 1을 넘을 수 없습니다. 생활속의 물리학     골프 채와 골프공 사이의 반발 계수는 골프공의 비행 거리에 중요한 역할을 합니다. 골프채 광고를 보게 되면 반발 계수라는 용어를 쉽게 볼 수 있습니다. "우리 골프채는 반발 계수가 얼마 얼마이다." 라구요. 그 값이 클 수록 골프공이 멀리 나가죠.   타자가 야구공을 쳤을 때 공의 반발 계수도 클수록 멀리 나가기 때문에 국내 야구에서는 볼의 반발 계수가 0.4134에서 0.4374 이내에 들게 규정을 만들게 된 것입니다. 이는 1m높이에서 공을 떨어뜨릴 때 0.4m 튀어 올라가는 정도의 반발 계수라는 뜻입니다.     4. 과제   1. 탄성구 충돌 실험에서 오른쪽의 2개 공을 들었다가 놓으면 2개의 공이 튕겨 나간다. 1개의 공이 2배의 속력으로 튕겨나가도 운동량 보존의 법칙에 위배되지 않는다. 그런데 왜 그런 일은 일어나지 않을까? (매우 고급 질문입니다. 수능 만점에 도전하는 학생들이 풀만한... ^^)